如何判断函数的奇偶性 如何判断函数的奇偶性和单调性

正文目录
1、如何判断函数的奇偶性
2、如何判断函数的奇偶性的三种办法
3、如何判断函数的奇偶性和单调性

今天小编百里如花分享的教育经验：怎么判断函数的奇偶性,如何判断函数的奇偶性,如何判断函数的奇偶性的三种办法,如何判断函数的奇偶性和单调性，欢迎阅读。

如何判断函数的奇偶性

1、根据奇函数和偶函数的定义进行判断，满足f(-x) = f(x)，则为偶函数；满足f(-x) = -f(x)，则为奇函数。

2、根据函数的图像进行判断，函数的图像关于y轴轴对称（函数的定义域一定是关于原点对称的），则为偶函数；函数的图像关于原点中心对称（函数的定义域一定是关于原点对称的），则为奇函数。

如何判断函数的奇偶性的三种办法

判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法：

1.看图像,奇函数关于原点对称；偶函数关于Y轴对称；

2.看其能否满足一定的条件奇函数,对任意定义域内的x都满足 f(-x)=-f(x)；偶函数,对任意定义域内的x都满足 f(-x)=f(x)；证明方法1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法）定义：如果对于函数y=f（x）的定义域A内的任意一个值x，都有f（-x）=-f（x）则这个函数叫做奇函数f（-x）=f（x），则这个函数叫做偶函数奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数）。但由单调性不能倒导其奇偶性。验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。（1）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性

它是奇函数，利用定义法判断f(-x)=-f(x)

函数的奇偶性判断方法

（1）定义法

用定义来判断函数奇偶性，是主要方法。首先求出函数的定义域，观察验证是否关于原点对称。其次化简函数式，然后计算f(-x)，最后根据f(-x)与f(x)之间的关系，确定f(x)的奇偶性。

（2）用必要条件

具有奇偶性函数的定义域必关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件。

例如，函数y=的定义域(-∞，1)∪(1，+∞)，定义域关于原点不对称，所以这个函数不具有奇偶性。

（3）用对称性

若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数。

若f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数。

（4）用函数运算

如果f(x)、g(x)是定义在D上的奇函数，那么在D上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)•g(x)是偶函数。简单地，“奇+奇=奇，奇×奇=偶”。

类似地，“偶±偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇”

1、函数奇偶性的定义

（1）一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对定义域内的任意一个x，都有-x∈I，且f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

（2）一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对定义域内的任意一个x，都有-x∈I，且f(－x)= -f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

2、奇函数偶函数的性质

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

3、判断函数奇偶性的方法和步骤：

（1）首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断；

（2）确定f(－x)与f(x)的关系并作出判断：

若f(x) = f(－x) 或 f(－x)－f(x) = 0或f(x)／f(-x)= 1则f(x)是偶函数；

若f(x)=－ f(－x) 或 f(－x)＋f(x) = 0或f(x)／f(-x)=-1则f(x)是奇函数。

（记住以上表达式为三种判断方法，有时直接采用定义法f(x) = ±f(-x) 判断比较困难，就采用另外两种变式来判断）

（一）奇偶性定义法

如果对于函数y=f(x)的定义域A内的任意一个值x，都有

f(-x)=f(-x),则该函数为偶函数,比较典型的就是cosx。

f(-x)=-f(x),则该函数为奇函数,比较典型的就是sinx。

（二）用求和方法判断函数奇偶性

若f(x)+f(-x)=0，则f(x)为奇函数。

若f(x)-f(-x)=0，则f(x)为偶函数。

（三）利用对称性判断函数奇偶性

若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数。

若f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数。

（四）利用函数运算法判断函数奇偶性

奇函数±奇函数=奇函数

偶函数±偶函数=偶函数

奇函数×奇函数=偶函数

偶函数×偶函数=偶函数

偶函数÷奇函数=奇函数

如何判断函数的奇偶性和单调性

函数的奇偶性是指在关于原点的对称点的函数值相等。是函数的基本性质之一，指其图象有某种对称性的一元函数.定义在对称区间1=(-a,a)或[-a,a}(或数轴上关于原点对称的点集)上的(一元)实值函数y=f(x)。函数的奇偶性(odevityofafunction)，对任意xEl，若f(-x)=f(x)，即在关于y轴的对称点的函数值相等，则f(x)称为偶函数;若f(-x)=-f(x)，即对称点的函数值正负相反，则f(x)称为奇函数.在平面直角坐标系中，偶函数的图象对称于y轴，奇函数的图象对称于原点.可导的奇(偶)函数的导函数的奇偶性与原来函数相反.定义在对称区间(或点集)上的任何函数f(x)都可以表示成奇函数φ(x)和偶函数ψ(x)之和。

定义域含0的奇函数有f(0)=0（可用于求参数）;若所给函数的解析式较复杂，应先化简，再判断其奇偶性。 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性。 注意：1.判断函数奇偶性之前务必先考查定义域是否关于原点对称，即：若函数f(x)具有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点对称；反之，函数定义域不关于原点对称，该函数无奇偶性。确定奇偶性的常用方法有：定义法、图想法等。 2.函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件。

①单调性:反比函数是具有单调性的,当函数内容k大于零的时候,图像分别位于第一三象限,而在每一个象限的内部,从左往右来数,y是随着x的增大而减少,如果K小于零的时候,图像分别位于第二四象限,在每一个象限的内部,y随着x的增大而增大。 当K大于零的时候,函数在x小于零上是一个减函数,而在x大于零的时候,也是为减函数。在k小于零的时候,函数在x小于零上为增函数,在x大于零的时候同为增函数。

②奇偶性

反比例函数的奇偶性反比例函数y=k/x奇函数

函数的单调性和奇偶性判断方法如下。

函数单调性的判断方法有定义法、性质法和复合函数同增异减法、导数法。

奇偶性的话一般是画图进行判断，其他方法就是利用定义和函数运算。

单调性是指当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。

奇偶性是函数的基本性质之一。

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x）=f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数。

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x），那么函数f(x)就叫奇函数。

判断函数的奇偶性共有四种方法。

1、定义法：利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法）定义：如果对于函数y=f（x）的定义域A内的任意一个值x，都有f（-x）=-f（x）则这个函数叫做奇函数f（-x）=f（x），则这个函数叫做偶函数。

2、求和（差）法：若f（x）-f（-x）=2f（x），则f（x）为奇函数。若f（x）+f（-x）=2f（x），则f（x）为偶函数。

3、用求商法判断若f（-x）/f（x）=-1,（f（x）≠0）则f（x）为奇函数。若f（-x）/f（x）=1,（f（x）≠0）则f（x）为偶函数。

4、图像判断法：奇函数的图像关于原点中心对称，而偶函数的图像关于Y轴轴对称。注意：如果函数既符合奇函数又符合偶函数，则叫做既奇又偶函数。例如f（x）=0。注：任意常函数（定义域关于原点对称）均为偶函数，只有f（x）=0是既奇又偶函数。扩展资料验证一个函数的奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。但由单调性不能倒导其奇偶性。奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）。偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数）。

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